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1.有了Fourier，為什么還需要Wavelet?

先來揭揭短：

(1)Fourier分析不能刻畫時間域上信號的局部特性。

(2)Fourier分析對突變和非平穩(wěn)信號的效果不好，沒有時頻分析。

傅立葉變換將函數(shù)投影到正弦波上，將函數(shù)分解成了不同頻率的正弦波，這不能不說是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，但是在大量的應用中，傅立葉變換的局限性卻日趨明顯，事實上在光滑平穩(wěn)信號的表示中，傅立葉基已經(jīng)達到了近似最優(yōu)表示，但是日常生活中的信號卻并不是一直光滑的，而且奇異是平凡的，傅立葉在奇異點的表現(xiàn)就著實讓人不爽，從方波的傅立葉逼近就可以看出來，用了大量不同頻率的三角波去逼近其系數(shù)衰減程度相當緩慢，而且會產(chǎn)生Gibbs效應。其內(nèi)在的原因是其基為全局性基，沒有局部優(yōu)化能力，以至局部一個小小的擺動也會影響全局的系數(shù)。實際應用中很需要時頻局部化，傅立葉顯然缺乏此能力了。即使如此，由于其鮮明的物理意義和快速計算，在很多場合仍然應用廣泛。傅立葉變換在從連續(xù)到離散的情形是值得借鑒與學習的，大家都知道，時間周期對應頻域離散，時間離散對應頻域周期，時間離散周期對應頻域離散周期，DFT其實是將離散信號做周期延拓然后做傅立葉變換再截取一個周期，反變換同樣如此，所以DFT用的是塊基的概念，這樣如果信號兩端的信號連接后不再光滑(即使兩邊都光滑)，同樣會在邊界上產(chǎn)生大幅值系數(shù)(邊界效應)，延伸到圖像中就是塊效應。當對信號做對稱周期延拓后再做傅立葉變換得到的正弦系數(shù)全部為0，也就是任何對稱函數(shù)可以寫成余弦的線性組合，同樣按照離散的思路構造得到的是離散塊余弦基，即DCT變換，雖然DCT可以通過對稱后周期延拓再變換減少了邊界效應(兩邊信號接上了，但不一定平滑)，但也不能消除塊效應，尤其是圖像變換中人為將圖像分成8*8處理后塊效應更加明顯。但是DCT很好的能量聚集效應讓人驚奇，加之快速計算方法使它替代DFT成為圖像的壓縮的標準了很長時間(JPEG)。

閑扯了這么多，不要迷糊，開始上圖：

第一個就是傅立葉變換是整個時域，所以沒有局部特征。這是由基函數(shù)決定的，同時如果在時域發(fā)生突變，那么在頻域就需要大量的正弦波去擬合，這也是傅立葉變換性質(zhì)決定的。

第二個就是面對非平穩(wěn)信號，傅立葉變換可以看到由哪些頻率組成，但不知道各成分對應的時刻是什么。也就是沒有時頻分析，看不出來信號頻域隨著時間變換的情況，反過來說就是，一個的頻圖對應好幾個時域圖，不知道是哪個，這個在實際應用中就不方便了，如圖：

如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩(wěn)信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜(幅值譜)卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩(wěn)信號，我們從頻譜上無法區(qū)分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同(時間分辨性太差)。

可見，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現(xiàn)的時刻并無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。

然而平穩(wěn)信號大多是人為制造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

上圖所示的是一個正常人的心電相關電位。對于這樣的非平穩(wěn)信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現(xiàn)的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——時頻聯(lián)合分析

2.預備知識：何為基?何為內(nèi)積?

2.1 基

傅立葉變換和小波變換，都會聽到分解和重構，其中這個就是根本，因為他們的變化都是將信號看成由若干個東西組成的，而且這些東西能夠處理還原成比原來更好的信號。那怎么分解呢?那就需要一個分解的量，也就是常說的基，基的了解可以類比向量，向量空間的一個向量可以分解在x，y方向，同時在各個方向定義單位向量e1、e2，這樣任意一個向量都可以表示為a=xe1+ye2，這個是二維空間的基：

而FT的基是不同頻率的正弦曲線(整個時間)，所以FT是把信號波分解成不同頻率的正弦波的疊加和：而對于小波變換就是把一個信號分解成一系列的小波(短時間)，也許就會問，小波變換的小波是什么啊，定義中就是告訴我們小波，因為這個小波實在是太多，一個是種類多，還有就是同一種小波還可以尺度變換，但是小波在整個時間范圍的幅度平均值是0，具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅，可以是不規(guī)則，也可以是不對稱,很明顯正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面幾個圖就是：

有了基，有什么用呢?下面看一個傅立葉變換的實例：

對于一個信號的表達式為x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 下面看圖形表示，感受一下頻域變換給人的一目了然：

基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相關性，但若去掉其中任何一個，則不成為基，這一點也叫完備性;基的表示有唯一性，即給定一族基對一個函數(shù)的表達是唯一的;一般情況下基非正交，也稱為為exact frame(Resize basis)，這個時候要表示信號可以將基正交化成唯一的正交基(對偶為其自身);也可以求其對偶框架(dual frame)，其對應了小波變換中的雙正交情形!信號可以依框架分解，然后用對偶框架重構。若在基集里添加一些新的向量，并隨意調(diào)整空間位置，則有可能成為框架。把函數(shù)與基或框架作內(nèi)積，也可以說成是一種函數(shù)空間到系數(shù)空間的變換。若某種變換后的能量(內(nèi)積的平方和度量)仍然有一個大于0的上下界，才可以成為框架，由于框架的冗余性，所以系數(shù)的表達也不具有唯一性。若上下界相等，則為緊框架，且界表示冗余度。若上下界相等為且為1，稱為pasval identity frame，此時不一定為正交基，此時若加上基的長度均為一的條件，則框架退化為正交基?？赡苣銜栁覀冇没鶃肀硎拘盘柧托辛税?，為什么還要框架呢?其實很多信號表示方法不能構成基，卻能構成框架，如短時傅立葉變換中如要求窗函數(shù)滿足基條件，則可推出該函數(shù)有很差的時頻局部化性質(zhì)(事實上退化為了傅立葉變換)

2.2 內(nèi)積

如果兩個向量的內(nèi)積為0 ，就說他們是正交的。

如果一個向量序列相互對偶正交，并且長度都為1，那么就說他們是正交歸一化的。

3.小波誕生的前一個晚上：短時傅里葉變換(STFT)

有了缺點當然就想著改進了，這就出來了短時傅立葉變換，也叫加窗傅立葉變換，顧名思義，就是因為傅立葉變換的時域太長了，所以要弄短一點，這樣就有了局部性。

定義：把整個時域過程分解成無數(shù)個等長的小過程，每個小過程近似平穩(wěn)，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現(xiàn)了什么頻率了。”這就是短時傅里葉變換。下面就是示意圖

時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎!

可能理解這一點最好的方式是舉例子。首先，因為我們的變換是對時間和頻率的函數(shù)(不像傅立葉變換，僅僅是對頻率的函數(shù))，它是二維的(如果加上幅度則是三維)。以下圖所示的非平穩(wěn)信號為例：

在這個信號中，在不同時刻有四個頻率分量。0-250ms內(nèi)信號的頻率為100Hz，其余每個250ms的間隔的信號頻率分別為50Hz，25Hz和10Hz。很明顯，這是一個非平穩(wěn)信號，讓我們看一看它的短時傅立葉變換：用這樣的方法，可以得到一個信號的時頻圖了：

既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現(xiàn)的時間。兩排峰是對稱的，只用看一排就行。這貌似解決了問題，好像有了加窗技術，整個世界都亮了。沒有那么簡單的，面對一個隨機的非平穩(wěn)信號，那么這個窗要多大了呢?(此時加窗傅里葉變換一臉的懵逼)

窗太窄，窗內(nèi)的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。

窗太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。

下面通過一組實驗，我們深入探索這種加窗技術，問題出現(xiàn)在哪里?

上圖對同一個信號(4個頻率成分)采用不同寬度的窗做STFT，結果如右圖。用窄窗，時頻圖在時間軸上分辨率很高，幾個峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。所以窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對于時變的非穩(wěn)態(tài)信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩(wěn)態(tài)信號變化的頻率的需求。

4.小波來了

時勢造英雄，小波開始一展拳腳了!

對于加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問題，如果我們讓窗口的大小可以改變，不就完美了嗎?答案是肯定的，小波就是基于這個思路，但是不同的是。STFT是給信號加窗，分段做FFT;而小波變換并沒有采用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了~

就又回到了最開始的基了。

小波變換采用的這些基函數(shù)會伸縮、會平移(其實是兩個正交基的分解)。縮得窄，對應高頻;伸得寬，對應低頻。然后這個基函數(shù)不斷和信號做相乘。某一個尺度(寬窄)下乘出來的結果，就可以理解成信號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。于是，基函數(shù)會在某些尺度下，與信號相乘得到一個很大的值，因為此時二者有一種重合關系。那么我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。如前文所述，小波做的改變就在于，將無限長的正弦函數(shù)基換成了有限長的會衰減的小波基。效果如下圖：

從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個變量：尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函數(shù)的伸縮，平移量 τ控制小波函數(shù)的平移。尺度就對應于頻率(反比)，平移量 τ就對應于時間。如下圖

當伸縮、平移到這么一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。而當我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍后，我們就知道信號在每個位置都包含哪些頻率成分?？吹搅藛?有了小波，我們從此再也不害怕非穩(wěn)定信號啦!從此可以做時頻分析啦!

3.1解決了局部性

3.2解決時頻分析

時域信號 FFT變換 小波分析

有了這些，小波分析也就入門了。

感謝大連理工大學機械工程碩士小木匠的出色工作。

感謝杜克大學方圓之中對STFT的現(xiàn)狀所做的科普工作。

關鍵詞： 小波 Fourier